Имеет ли право сотрудник ГИБДД вписывать статью за нечитаемые номерные знаки в грязи из-за непогоды?

Здравствуйте, Азамат! 

Имеет ли сотрудник ППС выписать протокол ?

Имеет, но не по всем составам правонарешний.  Такое право имеется на основании Приказа МВД России от 30 августа 2017 г. N 685«О должностных лицах системы Министерства внутренних дел Российской Федерации, уполномоченных составлять протоколы об административных правонарушениях и осуществлять административное задержание».

И имеет ли право сотрудник ГИБДД писать статью 12.2 за не читаемые номерные знаки если это грязь ???

Если это грязные  знаки, то состава административного правонарушения, предусмотренного ч.2 ст. 12.2 КоАП РФ, не будет, будет часть 1 указанной статьи. У ВАс есть право обжалования в срок 10 дней.