Могу я ездить на машине жены-гражданки России, если у меня есть ВНЖ и украинские права?

Здравствуйте Олег, можете.

Федеральный закон от 10 декабря 1995 г. N 196-ФЗ «О безопасности дорожного движения» (с изменениями и дополнениями)

Статья 25. Основные положения, касающиеся допуска к управлению транспортными средствами

12. Лица, постоянно или временно проживающие либо временно пребывающие на территории Российской Федерации, допускаются к управлению транспортными средствами на основании российских национальных водительских удостоверений, а при отсутствии таковых — на основании иностранных национальных или международных водительских удостоверений при соблюдении ограничений, указанных в пункте 13 настоящей статьи.

13. Не допускается управление транспортными средствами на основании иностранных национальных или международных водительских удостоверений при осуществлении предпринимательской и трудовой деятельности, непосредственно связанной с управлением транспортными средствами.

Однако при получении гражданства, Вы обязаны будете заменить его. Так говорит судебная практика(Решение № 12-388/2015 от 11 ноября 2015 г. по делу № 12-388/2015).